要知道，学线性代数那会儿，刚开始真是两眼一抹黑。矩阵乘法已经够绕的了，规则那么多，“行乘列”——记是记住了，但为啥是这样？感觉就像被告知一个圣旨，照办就行。然后冒出行变换，是为了解方程组，为了搞高斯消元，为了化简矩阵。这些操作，多有画面感啊：拿起第二行，把它挪到第一行的位置；或者，看着第三行不顺眼，给它整体乘以个-1。手感很强。

可“行变换是左乘”呢？它一下子把这种“手感”抽象化了，塞进了一个代数框架里。起初觉得，这不是把简单事情复杂化了吗？好端端的直观操作，非要用抽象的矩阵乘法来代替？直到，直到你真正理解了矩阵乘法的本质——尤其是左乘的意义——才会有那种醍醐灌顶的感觉。

矩阵乘法，AB。如果从行的角度看，A的每一行，其实是和B的每一列做内积，然后组成结果矩阵C的对应元素。但换个角度呢？把B看成一列列向量的组合 [b₁, b₂, ..., bₙ]。那AB就是 [Ab₁, Ab₂, ..., Abₙ]。A作用在B的每一列上。

那如果把A看成一行行向量的组合，B不动呢？这好像不是标准解释矩阵乘法AB怎么得到C的行的方式。但！如果反过来想，不是AB怎么得到C的行，而是A怎么影响B的行？

重点来了：矩阵乘法 M B，M放在左边。M的每一行，都会“作用”在B的整个矩阵上，具体来说，M的第i行，决定了结果矩阵 (MB) 的第i行是由B的哪些行的什么线性组合构成的。

举个例子，最简单的，单位矩阵 I。IB = B，当然啦。单位矩阵的行，就是标准的单位向量 e₁, e₂, ..., eₙ。eᵢTB（这里是eᵢ的转置，把它看作行向量）——根据矩阵乘法的定义，eᵢTB是什么？它就是取出矩阵B的第i行。所以，IB的第i行就是B的第i行。没毛病。

那我们看看那些所谓的初等矩阵 (Elementary Matrices)。它们长什么样？它们就是对单位矩阵做了一次基本行变换得来的。

比如，交换单位矩阵 I 的第i行和第j行，得到矩阵 Eᵢⱼ。当你用 Eᵢⱼ 去左乘任何一个矩阵 A (大小合适)，结果 EᵢⱼA 就是交换了 A 的第i行和第j行！你看，Eᵢⱼ 的第i行是原来的 eⱼ，Eᵢⱼ 的第j行是原来的 eᵢ，其他行不变。根据我们刚才说的“左乘矩阵的第i行决定结果的第i行是右边矩阵的行的线性组合”，EᵢⱼA 的第i行就会变成 A 的第j行（因为 Eᵢⱼ 的第i行是 eⱼ，它“挑”出了 A 的第j行），EᵢⱼA 的第j行变成 A 的第i行（Eᵢⱼ 的第j行是 eᵢ，“挑”出了 A 的第i行）。其他行当然就还是原来的样子。

再比如，把单位矩阵 I 的第i行乘以一个非零常数 c，得到矩阵 Eᵢ(c)。用 Eᵢ(c) 左乘 A，结果 Eᵢ(c)A 就是把 A 的第i行乘以了 c，其他行不变。道理一样，Eᵢ(c) 的第i行是 c eᵢ，它“挑”出 A 的第i行并乘以 c。

最后一种，把单位矩阵 I 的第j行乘以 c 加到第i行，得到矩阵 Eᵢⱼ(c)。用 Eᵢⱼ(c) 左乘 A，结果 Eᵢⱼ(c)A 就是把 A 的第j行乘以 c 加到了 A 的第i行，其他行不变。Eᵢⱼ(c) 的第i行是 eᵢ + c eⱼ，它“挑”出 A 的第i行加上 c 乘以 A 的第j行。

瞧见没有？每一个基本行变换，都对应着一个初等矩阵，而这个初等矩阵放在左边去乘原始矩阵，效果就完全等同于做了那个行变换。

这就是“行变换是左乘”这句话的全部奥秘，但这个奥秘，打开了线性代数里好多扇门！它不只是一个炫技的等价说法，它是桥梁。

它把我们在纸上、在脑子里对矩阵进行的那些具体操作，转化成了矩阵乘法——一种更高层次、更抽象的代数运算。

这有什么用？用处大了去了！

1. 解线性方程组：我们用高斯消元法或高斯-约旦消元法解 Ax = b。每一步行变换，都相当于在方程两边左乘一个初等矩阵。比如，E₁₂(c) (Ax) = E₁₂(c) b。左边根据乘法结合律变成 (E₁₂(c)A)x = E₁₂(c)b。经过一系列行变换（比如 k步），我们把 A 化成了行阶梯形矩阵 U（或最简行阶梯形矩阵 R）。这个过程，就相当于用一系列初等矩阵 E₁, E₂, ..., Ek 连续左乘 A： Ek ... E₂ E₁ A = U。令 E = Ek ... E₂ E₁。那 E 是什么？它是初等矩阵的乘积。初等矩阵都是可逆矩阵（因为它们的逆矩阵也是初等矩阵：交换回去、除以c、减去c倍的另一行）。所以，初等矩阵的乘积 E 也是可逆矩阵！Ax = b 变成了 Ex = Eb，也就是 Ux = Eb。我们解 Ux = Eb，比直接解 Ax = b 容易多了。这个 E 矩阵，简直就是个“记录仪”或者“总操作面板”，它封装了所有行变换的步骤。

2. 求逆矩阵：一个方阵 A 可逆，当且仅当它可以经过一系列行变换化成单位矩阵 I。也就是说，存在一系列初等矩阵 E₁, E₂, ..., Ek，使得 Ek ... E₂ E₁ A = I。根据逆矩阵的定义，(Ek ... E₂ E₁) 就是 A 的逆矩阵 A⁻¹！这直接给出了求逆矩阵的方法：把 [A | I] 增广矩阵，对它做行变换，把左边的 A 变成 I。当你把 A 变成 I 的时候，右边的 I 自然就被左乘了同样的那些初等矩阵的乘积 E，于是右边就变成了 EI = E = A⁻¹。这个算法，简直优雅得让人拍案叫绝。它不就是“行变换是左乘”的直接应用吗？对增广矩阵做行变换，就是用同一个初等矩阵同时左乘 A 和 I。

3. 理解矩阵的性质：秩、零空间、列空间等等，这些线性代数里的核心概念，在可逆矩阵的左乘下是不变的。因为行变换就是左乘可逆矩阵（初等矩阵是可逆的，它们的乘积也是可逆的），所以对矩阵做行变换不会改变它的秩、不会改变它列向量之间的线性相关性（虽然列空间变了，但秩没变），更不会改变对应齐次方程 Ax=0 的解空间（零空间）。“行变换是左乘”这个观点，为理解这些不变性提供了一个代数的视角。

从“看起来很美的巧合”到“理解线性代数结构的基石”，这就是我对“行变换是左乘”这句话的情感历程。它强迫你从更高层次、更抽象的视角去看待那些具体的矩阵操作。它告诉你，表面上的手工活儿，背后都有严格的代数结构在支撑。

数学里有很多这样的瞬间，一个简单的陈述，背后蕴含着深刻的统一性。行变换是左乘，这不只是一条定理，它是一种视角，一种把操作转化为运算的思维方式。它让你看到，原来那些为了计算方便而发明的步骤，竟然和核心的代数运算——矩阵乘法——如此完美地契合在一起。

所以下次当你再做行变换的时候，不妨在心里想一下，哦，我现在其实是在左乘一个看不见的初等矩阵呢。这种感觉，挺酷的，也让你对线性代数这门课，多了一份敬畏和理解。它不是一堆孤立的计算技巧，它是一个结构严谨、内在联系紧密的体系。而“行变换是左乘”，就是揭示这个体系优雅之处的一个重要窗口。