取决于你站哪边，或者说，取决于你的“世界观”是怎么设定的。

传统的、教科书里最常见的，特别是当你处理列向量的时候，多半是左乘。想象一下，你的向量 `v` 像个笔直站立的士兵，它的分量从上到下排列。而你的过渡矩阵`P`，它就像一个操作员，站在左边，挥舞着它的行向量，一行一行地去“作用”于 `v` 的分量，算出新的向量 `v'` 的分量。公式大概长这样：`v' = P v`。在这里，矩阵 `P` 的列通常是新基向量在旧基下的坐标表示。这是大多数物理、工程领域，以及很多计算机图形学（ যদিও近些年这块有点微妙，后面再说 ）习惯的方式。感觉上，矩阵 `P` 是一个“变换”或者一个“映射”，它把向量 `v` “送”到了另一个地方或者另一个坐标系 `v'` 里。矩阵在前，向量在后，符合我们从函数 `f(x)` 那里继承来的直觉，操作符在前。

但是，嘿，别高兴得太早！还有另一拨人，他们喜欢把向量写成行向量。就像一排人手拉着手横着排开：`v^T`。这时候，为了维度匹配能进行乘法，过渡矩阵就得放在右边了。公式变成：`v'^T = v^T P`。这种写法，在某些领域可太常见了，比如马尔可夫链！在很多关于随机过程的文献里，状态向量就是一个行向量，记录了系统处于各个状态的概率。下一时刻的状态分布，就是当前状态行向量右乘上转移概率矩阵。这里的逻辑感觉稍微有点不同，好像是向量的每个分量在“权重”矩阵的各个“通道”上分配开去。

所以你看，这不是左乘对不对、右乘错不错的技术问题，它是约定俗成的问题！是关于你如何定义你的向量表示形式，以及你如何定义你的过渡矩阵里面的元素代表什么。

要命的是，它真不一样。

比如，你有一个从基 A 到基 B 的基变换。如果用列向量和左乘的约定，那个过渡矩阵 `P_AB` （从 A 到 B 的矩阵）的列就是基 B 的向量在基 A 下的坐标。一个在基 A 下的向量 `v_A`，在基 B 下的坐标 `v_B` 满足 `v_B = P_AB v_A`。

但如果换成行向量和右乘的约定呢？假设矩阵还是叫 `P`。这时，行向量 `v_A^T` 经过 `P` 得到 `v_B^T`，即 `v_B^T = v_A^T P`。这里的矩阵 `P`，很可能就 不是 前面那个 `P_AB` 了！它可能是 `P_AB` 的转置，甚至是 `P_AB` 的逆的转置（这取决于更深层的定义，比如基向量本身的表示方式）。

这种不一致，简直是噩梦的源泉。你翻开一本概率书讲马尔可夫链，再翻开一本信号处理书讲线性系统，再翻开一本三维图形学的书讲坐标变换，可能看到三种不同的习惯！矩阵符号可能一样，但它肚子里装的东西，或者使用它的方式，南辕北辙。你不能想当然地把一个地方看到的矩阵直接搬到另一个地方用。

我记得有一次，为了解一个跨领域的模型，一段涉及到状态转移，一段涉及到几何变换，我硬是花了半宿，把所有的公式、所有的定义、所有的矩阵乘法都从头用最原始的基向量表示法推导了一遍，才最终确认哪个矩阵该左乘、哪个该右乘，以及那个矩阵里的数字到底代表着新基在旧基下的投影，还是旧基在新基下的表示，还是别的什么鬼。那种感觉，就像是个侦探，拿着碎片化的线索，一点点拼凑出真相。但代价是，头都大了，半夜对着屏幕，眼前全是符号在飘。

更有意思的是，即使在同一个领域，不同年代的书、不同的作者也可能有不同的偏好。早期的某些数值计算或统计学文献，行向量和右乘似乎更流行。现代的很多教材，受计算机编程中数组按行优先存储习惯的影响（尽管这跟数学上的行向量概念并非完全等同），加上数学上左乘理论体系的成熟和优雅，列向量和左乘渐渐成了主流。但总有例外，总有“遗老遗少”，或者仅仅是作者自己的习惯使然。

话说回来，这种“不确定性”也并非毫无缘由。很多时候，行向量和右乘在表达某些概念时确实更直观。比如，在处理行向量形式的数据集（每行是一个样本）时，右乘一个变换矩阵，对每个样本应用相同的变换，感觉上更自然。而列向量和左乘则更符合“变换作为函数作用于点”的抽象代数视角。它们各自有适用的语境和便利性。

所以，回到最初的问题：“过渡矩阵是左乘还是右乘？”答案是：看情况！别偷懒，别想当然！每次遇到，都要：

1. 搞清楚你的向量是列向量还是行向量。

2. 搞清楚那个神秘的过渡矩阵它是怎么定义的！它的列（或行）代表的是什么？是新基在旧基下的表示？还是旧基在新基下的表示？是从哪个空间“过渡”到哪个空间？

3. 对照着定义，小心翼翼地写出乘法，看看维度是否匹配，看看结果的意义是否符合预期。

这虽然麻烦，但却是避免犯错的唯一可靠路径。真希望所有作者都能在书里醒目地标出他们的约定，省得大家猜来猜去。这根本不是左乘和右乘哪个“对”，而是大家能不能坐下来，在同一个语境下用一套话语体系愉快地玩耍的问题。这才是最让人心累的地方。数学本身的美妙在于其逻辑的严谨和普适性，但这约定的五花八门，有时真让人觉得，我们还在巴别塔建成前的时代徘徊。