我们手里有啥武器呢？或者说，有哪些招数可以跟这些积分符号较劲？

第一招，也是最基本的一招，叫基本积分表。这就像我们学写字得先学字母表一样。∫xⁿ dx = (1/(n+1))xⁿ⁺¹ + C（n≠-1），∫eˣ dx = eˣ + C，∫sin x dx = -cos x + C……就这些最最基础的公式。看到一个积分，第一反应肯定得是：它直接就是基本表里的吗？或者经过简单的加减乘除、提个常数就能变成表里的形式？比如∫(2x² + 3cos x) dx，那就是2∫x² dx + 3∫cos x dx，直接套公式就行。这是最舒服的情况，看到题目就有了答案的感觉。可惜，大部分题目不会这么“友好”。

题目一旦稍微复杂点，基本表就不够看了。这时候，第二招，也是最常用、最有用的招数之一就登场了——凑微分，或者叫换元法。这招就像是给被积函数“整容”或者“瘦身”。它的核心思想是，如果你能把被积函数F(x) dx写成f(u) du的形式，其中u是x的某个函数，du是u的微分（也就是u'(x) dx），那么原积分就变成了∫f(u) du。如果∫f(u) du是基本积分表里的形式，问题就迎刃而解了。

怎么“凑”或者“换”呢？关键在于观察。看看被积函数里，有没有一个部分（设它是u）的导数，恰好是另一部分（或者差个常数）。比如∫2x e^(x²) dx。你盯着看，e^(x²)里面的x²，它的导数是2x。咦，被积函数里正好有个2x！那太好了，设u = x²，那么du = (x²)' dx = 2x dx。原积分∫e^(x²) (2x dx)立马变成了∫eᵘ du。看，这不就是基本表里的∫eˣ dx的形式吗？结果是eᵘ + C，再把u换回x²，就是e^(x²) + C。

凑微分这招，用得好，简直是化腐朽为神奇。但用不好，或者说，眼神儿不好没看出那个“藏着”的导数，那就抓瞎了。有时候需要一点点代数变形，比如加一项减一项，或者乘一个常数再除回来，都是为了创造出u'(x) dx那个结构。这个过程，真的像在玩侦探游戏，寻找隐藏的线索。练得多了，眼睛自然就“毒”了，一眼就能看出u该设成啥。

如果凑微分这条路走不通，被积函数看起来是两个不同类型函数的乘积（比如多项式乘以指数函数，或者x乘以sin x），而且没办法凑微分，那我们祭出第三招——分部积分法。这招听名字有点玄乎，“分部”，就是把一个积分分成两部分来算。它的理论基础来源于乘法法则的微分：(uv)' = u'v + uv'。积分一下，∫(uv)' dx = ∫u'v dx + ∫uv' dx。左边∫(uv)' dx就是uv啊！所以uv = ∫v du + ∫u dv。稍微移项，就得到了分部积分的公式：∫u dv = uv - ∫v du。

这个公式，初看有点绕，感觉是把一个积分∫u dv，变成了一个没有积分号的部分uv，加上另一个积分∫v du。看起来好像没解决问题，只是换了个积分算？但关键在于，我们要精心选择哪个是u，哪个是dv，希望能让右边那个新的积分∫v du，比左边原来的积分∫u dv更容易算！

怎么选u和dv呢？通常有个经验法则（虽然不是绝对的）：对数函数 > 反三角函数 > 幂函数 > 三角函数 > 指数函数。排序越靠前的，越适合选作u，因为它们求导后会变得“简单”（或者至少不更复杂）；剩下的部分就作为dv。比如∫x eˣ dx。x是幂函数，eˣ是指数函数，幂函数排在指数函数前面，所以我们倾向于设u = x，dv = eˣ dx。

如果u = x，那么du = dx。

如果dv = eˣ dx，那么v = ∫eˣ dx = eˣ。

套公式：∫x eˣ dx = x eˣ - ∫eˣ dx = x eˣ - eˣ + C。瞧，右边新的积分∫eˣ dx是不是比原来的∫x eˣ dx简单多了？

分部积分这招，玩的就是一个“乾坤大挪移”，把计算的难点转移。但选错了u和dv，可能会让新的积分变得更难算，那就白忙活了，得推倒重来。所以这招有点像下棋，需要预判。

还有一些更“特化”的招数。比如对付有理函数积分，就是多项式比多项式那种形式。如果分子次数高于或等于分母，先老老实实做多项式除法，把假分式变成多项式加真分式。那个多项式部分直接积分。剩下的真分式呢？得用部分分式分解法。把一个复杂的分式，拆成好几个简单分式的和，每个简单分式就比较容易积分了（通常会变成对数函数或反三角函数的形式）。这个过程嘛，就是硬桥硬马，需要耐心，一步一步来，列方程组解系数，错不得。但它是系统性的，只要按部就班，总能分解出来。

再往后，遇到涉及√(a²±x²)、√(x²-a²)这类形式的，就轮到三角代换了。这招有点像变身术，把x换成关于某个新变量（比如θ）的三角函数，从而利用三角恒等式把根号去掉。

碰到√(a²-x²)，可以设x = a sin θ。a² - x² = a² - a²sin²θ = a²cos²θ，根号下就出来了a|cosθ|。dx = a cosθ dθ。

碰到√(a²+x²)，可以设x = a tan θ。a² + x² = a² + a²tan²θ = a²sec²θ，根号下出来a|secθ|。dx = a sec²θ dθ。

碰到√(x²-a²)，可以设x = a sec θ。x² - a² = a²sec²θ - a² = a²tan²θ，根号下出来a|tanθ|。dx = a secθ tanθ dθ。

三角代换后，积分就变成了三角函数的积分，这可能还需要三角函数的积分方法（降幂、万能代换t=tan(x/2)等等）去处理。算完积分后，别忘了再把新变量θ换回原来的变量x。这个过程，来回折腾，但能解决硬骨头。

还有个传说中的万能代换，设t = tan(x/2)。那么sin x = 2t/(1+t²)，cos x = (1-t²)/(1+t²)，dx = 2dt/(1+t²)。这个代换能把任何关于sin x和cos x的有理函数积分变成关于t的有理函数积分。理论上很强大，但换出来的函数形式往往巨复杂，分解部分分式能算到吐血，所以非必要不轻易使用，是那种压箱底但有点“伤敌一千自损八百”感觉的招数。

说到底，求不定积分没有一个放之四海而皆准的通用公式（不像求导，有个万能的导数法则体系）。每一个被积函数，都有它自己的“脾气”，得对症下药。有时候，一个积分需要多种方法组合，先凑微分，再分部积分；或者先代数变形，再三角代换。整个过程，就像解谜，像拼图，考验的不仅仅是套用公式的能力，更是观察、分析、选择、乃至试错的智慧。

最后，算出来那个原函数F(x)之后，别忘了加上那个孤独的常数C！∫f(x) dx = F(x) + C。因为常数的导数是0，所以任何F(x) + 常数c，求导都等于f(x)。所以不定积分的结果是一个函数的“族”，而不是单个函数。那个+C，是数学严谨性的小尾巴，可别漏了它。

所以你看，求不定积分，不是简单的套公式。它是一场跟数学的对话，甚至是一场较量。需要你熟悉手里的基本招数（基本积分表），练就一双善于观察的眼睛去凑微分，学会权衡和选择来使用分部积分，掌握系统性的部分分式分解，甚至敢于使用三角代换这样的“变身术”。没有捷径，就是多看，多想，多练。每一次成功解出一个看似复杂的积分，那种成就感，就像解开了一个漂亮的谜题。虽然有时候会被一个积分卡住好久，抓耳挠腮，怀疑人生，但正是这种挑战，让整个过程变得有血有肉，不是吗？这就是我理解的，求不定积分的方法，或者说，跟不定积分“过招”的那些事儿。