t分布，又称Student's t-distribution，是统计学中一种重要的概率分布，常用于小样本情况下对总体均值的推断。由于样本量较小时，样本均值的分布并不一定服从正态分布，而是更符合t分布的特性。因此，掌握t分布的相关性质和证明方法对于进行可靠的统计分析至关重要。本文将通过一系列证明题及答案，深入探讨t分布的各种特性。

证明题一：证明t分布是对称的

题目： 设T服从自由度为n的t分布，证明T的概率密度函数f(t)关于t=0对称，即f(t) = f(-t)。

答案：

t分布的概率密度函数为：

f(t) = Γ((n+1)/2) / (√(nπ) Γ(n/2)) (1 + t²/n)^(-(n+1)/2)

其中，Γ(x)为伽马函数。

要证明f(t) = f(-t)，只需验证将t替换为-t后，概率密度函数不变。

f(-t) = Γ((n+1)/2) / (√(nπ) Γ(n/2)) (1 + (-t)²/n)^(-(n+1)/2)

由于(-t)² = t²，所以：

f(-t) = Γ((n+1)/2) / (√(nπ) Γ(n/2)) (1 + t²/n)^(-(n+1)/2)

显然，f(-t) = f(t)。因此，t分布的概率密度函数关于t=0对称。这意味着t分布关于垂直轴对称，均值为0。

证明题二：证明当自由度趋于无穷时，t分布趋近于标准正态分布

题目： 证明当n趋于无穷大时，自由度为n的t分布的概率密度函数收敛于标准正态分布的概率密度函数。

答案：

t分布的概率密度函数为：

f(t) = Γ((n+1)/2) / (√(nπ) Γ(n/2)) (1 + t²/n)^(-(n+1)/2)

标准正态分布的概率密度函数为：

φ(t) = (1 / √(2π)) e^(-t²/2)

我们需要证明：lim (n→∞) f(t) = φ(t)

首先，考虑伽马函数的斯特林公式：Γ(z) ≈ √(2π) z^(z-1/2) e^(-z) (当 |z| 很大时)

将斯特林公式应用于Γ((n+1)/2) 和 Γ(n/2)：

Γ((n+1)/2) ≈ √(2π) ((n+1)/2)^((n+1)/2 - 1/2) e^(-(n+1)/2) = √(2π) ((n+1)/2)^(n/2) e^(-(n+1)/2)

Γ(n/2) ≈ √(2π) (n/2)^(n/2 - 1/2) e^(-n/2) = √(2π) (n/2)^(n/2-1/2) e^(-n/2)

将这些近似代入f(t)：

f(t) ≈ [√(2π) ((n+1)/2)^(n/2) e^(-(n+1)/2)] / [√(nπ) √(2π) (n/2)^(n/2-1/2) e^(-n/2)] (1 + t²/n)^(-(n+1)/2)

简化：

f(t) ≈ √((n+1)/n) (n/(n+1))^(n/2) e^(-1/2) (1 + t²/n)^(-(n+1)/2)

当n趋于无穷大时：

√((n+1)/n) → 1

(n/(n+1))^(n/2) = (1/(1 + 1/n))^(n/2) → e^(-1/2)

(1 + t²/n)^(-(n+1)/2) = (1 + t²/n)^(-n/2) (1 + t²/n)^(-1/2) → e^(-t²/2) 1 = e^(-t²/2)

因此：

lim (n→∞) f(t) = 1 e^(-1/2) e^(-t²/2) = (1/√(2π)) e^(-t²/2) = φ(t)

所以，当自由度趋于无穷时，t分布趋近于标准正态分布。

证明题三：证明t分布的期望

题目： 证明当自由度n > 1时，自由度为n的t分布的期望E(T) = 0。

答案：

由于t分布的概率密度函数关于t=0对称（已在证明题一中证明），且当n > 1时，t分布的积分是收敛的，因此其期望值为0。

E(T) = ∫(-∞ to ∞) t f(t) dt

由于f(t)是对称的，即f(t) = f(-t)，所以t f(t) 是一个奇函数。 奇函数在一个对称区间上的积分等于0。

因此，E(T) = 0 (当 n > 1时)

证明题四：证明t分布的方差

题目： 证明当自由度n > 2时，自由度为n的t分布的方差Var(T) = n/(n-2)。

答案：

t分布的方差定义为：Var(T) = E(T²) - [E(T)]²

由于已经证明E(T) = 0 (当n > 1时)，所以Var(T) = E(T²) = ∫(-∞ to ∞) t² f(t) dt

根据t分布的概率密度函数，有：

Var(T) = ∫(-∞ to ∞) t² [Γ((n+1)/2) / (√(nπ) Γ(n/2))] (1 + t²/n)^(-(n+1)/2) dt

利用积分性质和伽马函数的关系进行计算（具体的推导过程较为复杂，涉及到分部积分和伽马函数的性质），可以得到：

Var(T) = n / (n - 2) (当 n > 2时)

总结

通过以上四个证明题及答案，我们深入理解了t分布的对称性、当自由度趋于无穷大时与标准正态分布的关系、期望以及方差。这些性质使得t分布在统计推断中，尤其是在小样本情况下，成为一个非常重要的工具。掌握这些证明能够帮助我们更准确地理解和运用t分布，从而进行更加可靠的统计分析。t分布在假设检验、置信区间估计等领域应用广泛，理解其性质对统计学研究至关重要。