常见拉普拉斯逆变换对照表

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发布时间：2025-02-16 11:13:57

188****3100

2025-02-16 11:13:57

在工程数学，尤其是电路分析、控制系统等领域，拉普拉斯变换及其逆变换扮演着至关重要的角色。拉普拉斯变换将时域函数转换到复频域函数，使得微分方程的求解变得更加简单，而拉普拉斯逆变换则将复频域函数还原回时域函数，从而得到最终的解。熟练掌握常见的拉普拉斯逆变换，对于快速解决实际问题具有重要意义。本文整理了一份常见的拉普拉斯逆变换对照表，并结合具体案例进行分析，旨在帮助读者更好地理解和应用拉普拉斯逆变换。

一、常见拉普拉斯逆变换对照表

| 序号 | F(s) (复频域函数) | f(t) (时域函数) | 备注 |

|---|---|---|---|

| 1 | 1 | δ(t) (单位冲激函数) | |

| 2 | 1/s | u(t) (单位阶跃函数) | |

| 3 | 1/s² | t | |

| 4 | 1/sⁿ (n > 0) | t^(n-1) / (n-1)! | |

| 5 | 1/(s+a) | e^(-at) | a 为常数 |

| 6 | 1/(s+a)² | t e^(-at) | a 为常数 |

| 8 | s/(s+a) | δ(t) - ae^(-at) | a 为常数 |

| 9 | ω/(s²+ω²) | sin(ωt) | ω 为常数 |

| 10 | s/(s²+ω²) | cos(ωt) | ω 为常数 |

| 13 | 1/(s(s+a)) | (1 - e^(-at))/a | a 为常数 |

| 15 | e^(-as) | u(t-a) | a>0，时延函数 |

二、对照表应用案例

下面我们结合几个例子，说明如何使用上面的拉普拉斯逆变换对照表。

例1： 求 F(s) = 2/(s+3) 的拉普拉斯逆变换。

分析：观察 F(s) 的形式，与对照表中的第 5 条非常相似。

解：根据对照表第 5 条，L⁻¹[1/(s+a)] = e^(-at)，则 L⁻¹[2/(s+3)] = 2 e^(-3t)。

例2： 求 F(s) = 1/(s²+4) 的拉普拉斯逆变换。

分析：观察 F(s) 的形式，与对照表中的第 9 条相似，需要进行适当的调整。

解：将 F(s) 写成 F(s) = (1/2) 2/(s²+2²)，然后根据对照表第 9 条，L⁻¹[ω/(s²+ω²)] = sin(ωt)，因此 L⁻¹[1/(s²+4)] = (1/2) sin(2t)。

例3： 求 F(s) = (s+2)/(s²+4) 的拉普拉斯逆变换。

分析：将 F(s) 分解为两项，分别应用对照表。

解：F(s) = s/(s²+4) + 2/(s²+4) = s/(s²+2²) + 2/(s²+2²) = s/(s²+2²) + (2/2)(2/(s²+2²))。根据对照表第 10 条和第 9 条，分别得到 cos(2t) 和 sin(2t)。因此，L⁻¹[F(s)] = cos(2t) + sin(2t)。

三、拉普拉斯逆变换的求解技巧

除了直接查阅对照表，在实际应用中，我们还需要掌握一些常用的技巧：

1. 部分分式分解： 对于复杂的 F(s)，常常需要将其分解成若干个简单的分式之和，然后分别求逆变换。例如，如果F(s) = (3s+2)/((s+1)(s+2))，则可以将其分解为 F(s) = 4/(s+2) - 1/(s+1)，然后分别求逆变换，得到 f(t) = 4e^(-2t) - e^(-t)。

2. 线性性质： 拉普拉斯逆变换具有线性性质，即 L⁻¹[aF₁(s) + bF₂(s)] = aL⁻¹[F₁(s)] + bL⁻¹[F₂(s)]，其中 a 和 b 为常数。

3. 频移性质： L⁻¹[F(s+a)] = e^(-at) f(t)。

4. 时移性质： L⁻¹[e^(-as)F(s)] = f(t-a)u(t-a)，其中 u(t-a) 为单位阶跃函数。

5. 微分性质： L⁻¹[sF(s) - f(0)] = f'(t)，即 F(s) 乘以 s 对应于时域函数的微分。

6. 积分性质： L⁻¹[F(s)/s] = ∫₀ᵗ f(τ) dτ，即 F(s) 除以 s 对应于时域函数的积分。

四、注意事项

在使用拉普拉斯逆变换对照表时，需要仔细观察 F(s) 的形式，并进行适当的调整，使其与对照表中的条目相匹配。

对于一些复杂的 F(s)，可能需要同时使用多种技巧才能完成逆变换。

理解拉普拉斯变换的性质和定理，可以更好地应用逆变换解决实际问题。

掌握常见函数的拉普拉斯变换和逆变换对于快速解决工程问题至关重要。

在进行部分分式分解时，要确保分解的正确性，可以使用验证方法来检验。

总之，熟练掌握拉普拉斯逆变换对照表，并灵活运用相关技巧，可以有效地解决工程领域中的各种问题。希望本文提供的资料能对您有所帮助。