三阶矩阵的行列式，记作 |A|，是线性代数中一个重要的概念。它不仅是一个数值，还蕴含着矩阵所代表的线性变换的诸多信息，比如是否可逆、变换的面积/体积缩放比例等等。本文将详细介绍几种计算三阶矩阵 行列式 |A| 的方法，力求条理清晰、便于理解。

一、定义法：对角线法则

这是最基础也最直观的方法，专用于三阶矩阵。将矩阵的元素按照如下方式排列，并进行计算：

| a11 a12 a13 |

| a21 a22 a23 |

| a31 a32 a33 |

|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33

简单来说，就是主对角线三个元素的乘积，加上平行的两条斜线上元素乘积，再减去副对角线三个元素的乘积，以及平行的两条斜线上元素乘积。这个方法形象地称为“对角线法则”。

示例：

假设矩阵 A 为：

| 1 2 3 |

| 4 5 6 |

| 7 8 9 |

那么 |A| = (1 5 9) + (2 6 7) + (3 4 8) - (3 5 7) - (1 6 8) - (2 4 9) = 45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 0

二、降阶法：按行/列展开

对于更高阶的矩阵，定义法就不适用了。这时就需要用到降阶法，也称为展开法。对于三阶矩阵，我们可以选择任意一行或一列进行展开。

展开公式为：

|A| = a11C11 + a12C12 + a13C13 (按第一行展开)

或者

|A| = a11C11 + a21C21 + a31C31 (按第一列展开)

其中，aij 是矩阵 A 第 i 行第 j 列的元素，Cij 是 aij 的代数余子式。 代数余子式 Cij 定义为：

Cij = (-1)^(i+j) Mij

Mij 是 aij 的余子式，它是从矩阵 A 中删除第 i 行和第 j 列后剩余元素的形成的低一阶矩阵的行列式。对于三阶矩阵来说，Mij 是一个二阶矩阵的行列式。

二阶矩阵的行列式计算很简单：

| a b |

| c d | = ad - bc

示例：

仍然使用之前的矩阵 A：

| 1 2 3 |

| 4 5 6 |

| 7 8 9 |

按第一行展开：

C11 = (-1)^(1+1) | 5 6 | = (59 - 68) = -3

| 8 9 |

C12 = (-1)^(1+2) | 4 6 | = -(49 - 67) = 6

| 7 9 |

C13 = (-1)^(1+3) | 4 5 | = (48 - 57) = -3

| 7 8 |

|A| = 1 (-3) + 2 6 + 3 (-3) = -3 + 12 - 9 = 0

可以看出，按行或按列展开，结果是一致的。选择哪一行或哪一列展开，可以根据具体情况来决定，比如选择含有0元素较多的行或列，可以简化计算。

三、利用矩阵的性质

在计算行列式时，可以利用矩阵的性质进行化简，然后再进行计算。常用的性质包括：

1. 互换矩阵的两行（列），行列式的值变号。

2. 矩阵的某一行（列）乘以一个常数 k，行列式的值也乘以 k。

3. 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的 k 倍，行列式的值不变。

4. 如果矩阵中有两行（列）完全相同或成比例，则行列式的值为 0。

5. 如果矩阵的某一行（列）全部为0，则行列式的值为 0。

通过这些性质，可以将矩阵进行化简，例如化为上三角矩阵或下三角矩阵，此时行列式的值就是对角线上元素的乘积。

示例：

继续使用矩阵 A：

| 1 2 3 |

| 4 5 6 |

| 7 8 9 |

将第二行减去第一行的 4 倍，第三行减去第一行的 7 倍：

| 1 2 3 |

| 0 -3 -6 |

| 0 -6 -12 |

将第三行减去第二行的 2 倍：

| 1 2 3 |

| 0 -3 -6 |

| 0 0 0 |

由于矩阵中有一行全为 0，因此 |A| = 0。

总结

计算三阶矩阵的行列式有多种方法，选择哪种方法取决于具体情况。定义法适用于简单的三阶矩阵，降阶法是一种通用的方法，而利用矩阵的性质可以简化计算。掌握这些方法，可以有效地计算出三阶矩阵的行列式，为后续的线性代数学习打下坚实的基础。对于更复杂的矩阵，通常会使用软件工具进行计算，但了解这些基本原理仍然十分重要。