不定积分是微积分中的一个重要概念，它是导数的逆运算。熟练掌握不定积分的计算方法，对于学习后续的定积分、微分方程等内容至关重要。本文将精选一些常见且具有代表性的不定积分题目，并提供详细的解答步骤，希望能帮助读者更好地理解和掌握不定积分。

题目一： 求 ∫(2x + 3) dx

解答：

利用不定积分的线性性质：∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx 和 ∫kf(x) dx = k∫f(x) dx，我们可以将原式分解为：

∫(2x + 3) dx = 2∫x dx + 3∫1 dx

接下来，利用基本积分公式 ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n≠-1) 和 ∫1 dx = x + C，可得：

2∫x dx = 2 (x^2)/2 + C1 = x^2 + C1

3∫1 dx = 3x + C2

因此， ∫(2x + 3) dx = x^2 + 3x + C (其中C = C1 + C2 是任意常数)

题目二： 求 ∫sin(3x) dx

解答：

这是一个复合函数的积分，需要使用换元法。

设 u = 3x，则 du = 3 dx，即 dx = (1/3) du

原式可化为： ∫sin(u) (1/3) du = (1/3) ∫sin(u) du

根据基本积分公式 ∫sin(x) dx = -cos(x) + C，可得：

(1/3) ∫sin(u) du = (1/3) (-cos(u)) + C = -(1/3)cos(3x) + C

题目三： 求 ∫x e^x dx

解答：

这是一个典型的分部积分的题目。分部积分公式为：∫u dv = uv - ∫v du

选择 u = x，dv = e^x dx

则 du = dx，v = ∫e^x dx = e^x

代入分部积分公式：

∫x e^x dx = x e^x - ∫e^x dx = x e^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C

题目四： 求 ∫(1 / (x^2 - 4)) dx

解答：

这个题目需要用到部分分式分解。

将 (1 / (x^2 - 4)) 分解为 (1 / ((x-2)(x+2))) = A/(x-2) + B/(x+2)

通分得到： 1 = A(x+2) + B(x-2)

令 x = 2，则 1 = 4A，A = 1/4

令 x = -2，则 1 = -4B，B = -1/4

因此， ∫(1 / (x^2 - 4)) dx = ∫((1/4)/(x-2) - (1/4)/(x+2)) dx

= (1/4) ∫(1/(x-2)) dx - (1/4) ∫(1/(x+2)) dx

= (1/4) ln|x-2| - (1/4) ln|x+2| + C

= (1/4) ln|(x-2)/(x+2)| + C

题目五： 求 ∫cos^2(x) dx

解答：

这个题目需要用到三角恒等变换：cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2

因此， ∫cos^2(x) dx = ∫((1 + cos(2x))/2) dx = (1/2) ∫(1 + cos(2x)) dx

= (1/2) (∫1 dx + ∫cos(2x) dx)

= (1/2) (x + (1/2)sin(2x)) + C

= (1/2)x + (1/4)sin(2x) + C

题目六： 求 ∫tan(x) dx

解答：

tan(x) = sin(x) / cos(x)

因此， ∫tan(x) dx = ∫(sin(x) / cos(x)) dx

设 u = cos(x)，则 du = -sin(x) dx，即 sin(x) dx = -du

原式可化为： ∫(-1/u) du = -∫(1/u) du = -ln|u| + C = -ln|cos(x)| + C = ln|sec(x)| + C

题目七： 求 ∫√(1-x^2) dx

解答：

使用三角换元法。设 x = sinθ，则 dx = cosθ dθ，并且√(1-x^2) = √(1-sin^2θ) = cosθ

原式可化为：∫cosθ cosθ dθ = ∫cos^2θ dθ

根据题目五的结论，∫cos^2θ dθ = (1/2)θ + (1/4)sin(2θ) + C

因为 sinθ = x，所以 θ = arcsin(x)，sin(2θ) = 2sinθcosθ = 2x√(1-x^2)

因此，∫√(1-x^2) dx = (1/2)arcsin(x) + (1/2)x√(1-x^2) + C

通过以上几个典型题目的分析，我们可以看到，掌握基本积分公式、线性性质、换元积分法、分部积分法以及部分分式分解等技巧，是解决不定积分问题的关键。 熟练掌握这些方法，并结合大量的练习，才能真正掌握不定积分。此外，一些复杂的积分可能需要结合多种方法才能解决，这就需要我们灵活运用所学知识。 不定积分是学习更高层次数学的基础，希望本文的解析能帮助大家更好地理解这一概念，并提升解题能力。