本文旨在整理并呈现一份常用的傅里叶变换公式表，方便读者在信号处理、图像处理、通信工程等相关领域进行快速查阅和应用。这份表格力求涵盖了时域和频域常见的函数及其对应的傅里叶变换对，并提供一些重要的性质，帮助理解和简化计算。

一、基本傅里叶变换对

以下表格列出了一些基本函数的傅里叶变换对。

| 时域函数 f(t) | 频域函数 F(ω) | 说明 |

|---|---|---|

| δ(t) (单位冲激函数) | 1 | |

| 1 (常数) | 2πδ(ω) | |

| u(t) (单位阶跃函数) | πδ(ω) + 1/(jω) | j为虚数单位 |

| sgn(t) (符号函数) | 2/(jω) | sgn(t) = 1, t>0; sgn(t) = -1, t<0; sgn(0) = 0 |

| e^jω₀t (复指数函数) | 2πδ(ω - ω₀) | |

| cos(ω₀t) | π[δ(ω - ω₀) + δ(ω + ω₀)] | |

| sin(ω₀t) | (π/j)[δ(ω - ω₀) - δ(ω + ω₀)] | |

| rect(t/T) (矩形函数) | T sinc(ωT/2) | rect(t/T) = 1, |t|T/2; sinc(x) = sin(x)/x |

| sinc(t/T) | πT rect(ωT/2π) | |

| exp(-at)u(t) (a>0) | 1/(a + jω) | |

| t exp(-at)u(t) (a>0) | 1/(a + jω)² | |

| exp(-a|t|) (a>0) | 2a/(a² + ω²) | |

| exp(-πt²) (高斯函数) | exp(-ω²/4π) | |

二、傅里叶变换的性质

傅里叶变换具有许多重要的性质，这些性质可以简化复杂的计算，并帮助理解信号的频域特性。

1. 线性性：对于常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有：

F{af(t) + bg(t)} = aF(ω) + bG(ω)

2. 时移性：若f(t)的傅里叶变换为F(ω)，则：

F{f(t - t₀)} = e^-jωt₀F(ω)

即时域平移对应于频域的相位变化。

3. 频移性：若f(t)的傅里叶变换为F(ω)，则：

F{e^jω₀tf(t)} = F(ω - ω₀)

即时域乘以一个复指数，对应于频域的平移。

4. 尺度变换：对于常数a ≠ 0，有：

F{f(at)} = (1/|a|)F(ω/a)

时域压缩对应于频域的扩展，反之亦然。

5. 共轭对称性：如果f(t)是实函数，则：

F(-ω) = F(ω)

其中F(ω)表示F(ω)的复共轭。这意味着实函数的傅里叶变换具有共轭对称性，其幅度谱是偶函数，相位谱是奇函数。

6. 微分性质：

F{df(t)/dt} = jωF(ω)

时域微分对应于频域乘以jω。

F{t f(t)} = j dF(ω)/dω

7. 积分性质：

F{∫^t_-∞ f(τ) dτ} = F(ω)/(jω) + πF(0)δ(ω)

8. 卷积定理：设f(t)和g(t)的傅里叶变换分别为F(ω)和G(ω)，则：

F{f(t) g(t)} = F(ω)G(ω)

其中 表示卷积运算。时域卷积对应于频域的乘积。

9. 相关定理：设f(t)和g(t)的傅里叶变换分别为F(ω)和G(ω)，则：

F{f(t) ⋆ g(t)} = F(ω)G(ω)

其中 ⋆ 表示相关运算。

10. 帕塞瓦尔定理：

∫^∞_-∞ |f(t)|² dt = (1/2π) ∫^∞_-∞ |F(ω)|² dω

帕塞瓦尔定理表明时域和频域的能量相等。

三、常用函数的傅里叶变换对补充说明

矩形函数 rect(t/T) 的傅里叶变换是sinc函数，这在信号处理中非常常见，例如在理想低通滤波器中。

高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯函数，这表明高斯函数在时域和频域都具有良好的局部化特性。

理解冲激函数 δ(t) 的傅里叶变换是常数 1 对于分析系统的冲击响应至关重要。

四、总结

这份傅里叶变换公式表提供了一个快速参考，涵盖了基本的函数及其傅里叶变换以及关键的性质。熟练掌握这些公式和性质，对于在各种工程和科学领域中分析和处理信号都非常有帮助。务必理解每个公式的含义和适用条件，以便正确地应用它们。记住，傅里叶变换是一种强大的工具，能够将信号从时域转换到频域，从而揭示信号的频谱信息，为进一步的分析和处理提供重要的基础。