线性代数领域，正定矩阵扮演着重要角色。它不仅拥有许多优良的性质，还在优化问题、统计分析等领域有着广泛应用。其中一个关键性质就是其特征值的取值范围。那么，正定矩阵的特征值都大于零吗？ 答案是肯定的，并且这也是正定矩阵的一个重要定义之一。

首先，我们需要理解正定矩阵的定义。一个实对称矩阵A被称为正定矩阵，如果对于任何非零向量x，都有xᵀAx > 0 成立。这个条件表明，矩阵A作用于任何非零向量后，得到的二次型的结果总是正数。需要注意的是，正定矩阵必须是实对称矩阵。如果矩阵不是实对称的，则不能直接套用正定矩阵的性质。

为了理解为什么正定矩阵的特征值都大于零，我们可以从特征值和特征向量的定义入手。假设λ是矩阵A的一个特征值，v是对应的特征向量，那么满足以下关系：

Av = λv

现在，我们将等式两边同时左乘 vᵀ，得到：

vᵀAv = vᵀ(λv) = λ(vᵀv)

由于A是正定矩阵，且v是非零向量，根据定义，vᵀAv > 0。同时，vᵀv 代表向量v的模的平方，它总是大于零的（因为v是非零向量）。因此，我们有：

λ(vᵀv) > 0

由于vᵀv > 0，所以为了使整个不等式成立，必须有λ > 0。这就证明了正定矩阵的所有特征值都必须大于零。

这个结论可以从多个角度进行验证和理解。

从二次型的角度看： 正定矩阵的定义本身就与二次型紧密相关。二次型xᵀAx可以表示为特征向量空间中坐标的加权平方和，权重就是对应的特征值。如果存在任何一个特征值小于或等于零，那么我们可以选择一个沿着该特征向量方向的x，使得xᵀAx小于或等于零，这与正定矩阵的定义矛盾。

从矩阵分解的角度看： 正定矩阵可以进行Cholesky分解，分解为 A = LLᵀ，其中L是一个下三角矩阵。Cholesky分解的存在性与正定矩阵的特征值大于零是等价的。如果存在负特征值，Cholesky分解将无法进行。

从线性变换的角度看： 正定矩阵对应的线性变换可以看作是对向量进行缩放和旋转的组合。所有的缩放因子（对应于特征值）都是正的，这意味着向量在变换后长度总是增加的（至少不会减小到零）。

例如，考虑一个简单的2x2正定矩阵：

A = [[2, 1],

[1, 2]]

这个矩阵是实对称的。我们可以计算它的特征值。特征方程为：

det(A - λI) = 0

其中 I 是单位矩阵。解这个方程，得到两个特征值 λ₁ = 1 和 λ₂ = 3。这两个特征值都大于零，验证了我们的结论。

此外，需要强调的是，特征值大于零只是正定矩阵的必要条件，而非充分条件。如果一个矩阵的所有特征值都大于零，它并不一定是正定矩阵。只有当矩阵是实对称的，且所有特征值都大于零时，才能断定它是正定矩阵。

半正定矩阵是与正定矩阵密切相关的概念。一个实对称矩阵A被称为半正定矩阵，如果对于任何非零向量x，都有xᵀAx ≥ 0 成立。这意味着半正定矩阵的特征值大于或等于零。一个半正定矩阵可能存在零特征值，而正定矩阵的所有特征值必须严格大于零。

总而言之，正定矩阵的特征值都大于零。这是一个重要的结论，它连接了正定矩阵的定义、二次型、特征值、特征向量以及矩阵分解等多个概念。理解这个结论有助于我们更好地掌握正定矩阵的性质和应用，并在解决实际问题时灵活运用。记住，正定矩阵一定是实对称矩阵，而其特征值的正性是其正定性的一个关键指标。